Explicado desde cero

Los primos que nunca pueden aparecer

Ciertos números enteros tienen una propiedad que se refiere a sí misma. Resulta que hay familias enteras de primos que quedan excluidas de ese club para siempre — y una sola línea de aritmética dice cuáles.

Jorge Ellena Godoy · 2026 · in English

1 La pregunta

Suponga una regla que convierte un número entero en otro, y pregúntese qué números dividen al resultado de aplicarse la regla a sí mismos — no exactamente, sino a través de sus ingredientes primos. Es una condición que se refiere a sí misma, y no hay ninguna razón evidente para que se comporte de manera ordenada.

La pregunta de acá es más filosa. ¿Puede un primo quedar excluido del club por completo? No raro, no difícil de encontrar — imposible, para todo número, para siempre.

La respuesta es que sí, y los primos a los que les pasa forman familias prolijas: para una regla es todo primo que deja resto 3 al dividir por 4; para otra, todo primo que deja resto 2 al dividir por 3.

2 Las palabras que hacen falta

Primo: Un número mayor que 1 divisible sólo por 1 y por sí mismo: 2, 3, 5, 7, 11, 13… Todo entero es producto de primos de una sola manera.
Radical: Tome un número, anote los primos distintos que tiene, multiplíquelos. Para 60 = 2×2×3×5 los distintos son 2, 3 y 5, así que el radical es 30. Se escribe rad(n).
Divide: «a divide a b» quiere decir que b son copias enteras de a. 7 divide a 28; 7 no divide a 30.
Resto: Lo que queda después de dividir. 11 dividido 4 deja resto 3. Dos números con el mismo resto son congruentes.
Orden multiplicativo: Multiplique un número por sí mismo una y otra vez, y cada vez quédese sólo con el resto de dividir por un primo p. Tarde o temprano vuelve a 1. Cuántos pasos tarda es el orden. Ejemplo: las potencias de 3 con restos módulo 7 van 3, 2, 6, 4, 5, 1 — seis pasos, así que el orden es 6.

3 La receta

Elija una regla f. La más vieja es «sume todos los divisores»; la que más se usa acá es «tome la potencia de primo y súmele uno», así que 3³ se convierte en 27+1 = 28.

El club. Un número n pertenece cuando rad(n) divide a f(n).

Ahora la observación que convierte esto en algo que se puede dibujar. Un primo divide a un producto sólo si divide a alguno de los pedazos. Así que en vez de una multiplicación grande, pregunte por cada primo del número: ¿hay otro primo cuyo pedazo sea divisible por él? Dibuje un punto por primo, y una flecha de q a p cuando el pedazo que aporta q es divisible por p.

Su número está en el club exactamente cuando todo punto tiene al menos una flecha entrante. Nadie responde por sí mismo; con una flecha alcanza.

4 Pruébelo usted

Tome los tres primos 3, 7 y 11, y la regla «sumar uno». Elija los exponentes 3, 5 y 1, así que el número es 4991679 = 3³ · 7⁵ · 11. Saque los tres pedazos:

3³ + 1 = 28 = 2² · 7 → el pedazo del 3 es divisible por 7
7⁵ + 1 = 16808 = 2³ · 11 · 191 → el pedazo del 7 es divisible por 11
11 + 1 = 12 = 2² · 3 → el pedazo del 11 es divisible por 3

Tres puntos rotulados 3, 7 y 11 con flechas que forman un ciclo — **Todos quedan cubiertos, en círculo.** El 3 responde por el 7, el 7 por el 11, y el 11 por el 3. Así que el radical 3·7·11 = 231 divide al producto 28 · 16808 · 12 = 5647488, y el número está en el club.

Ahora intente hacerlo con sólo dos de esos primos. No se puede, y no por falta de empeño: los tres pares fallan, siempre por lo mismo.

orden de 7 módulo 3 = 1 (impar) → el 7 nunca puede responder por el 3
orden de 3 módulo 11 = 5 (impar) → el 3 nunca puede responder por el 11
orden de 11 módulo 7 = 3 (impar) → el 11 nunca puede responder por el 7

5 De dónde salió la pregunta

Un trabajo anterior calculó con qué frecuencia se pueden cubrir pares de primos, y sacó una fracción exacta, 31/72. También demostró algo rígido: para dos primos que dejan resto 3 al dividir por 4, nunca se puede. La razón es un teorema que Gauss demostró en 1801, la reciprocidad cuadrática: para un par así, sólo una de las dos flechas posibles puede existir, y siempre queda un punto sin aval.

Eso dejaba colgando una pregunta obvia que nadie había contestado: ¿qué pasa con tres?

6 Lo que se encontró

Tres pueden lo que dos no — exactamente la cuarta parte de las veces

Con tres primos así, cada par sigue aportando exactamente una flecha, o sea que queda un triángulo con tres flechas. Hay ocho maneras de orientarlo. En seis, alguien queda sin flecha entrante. En las otras dos — las que dan la vuelta en círculo— todos quedan cubiertos.

Ocho triangulos con flechas; dos aparecen marcados como ciclicos — **Dos de ocho.** O sea que funciona exactamente 1/4 de esas ternas, contra *ninguno* de los pares. La fracción no es aproximada: la fuerza el conteo.

Hay primos a los que nunca se les puede apuntar

Que pueda existir una flecha hacia p depende del orden, y el orden siempre divide a p − 1. Para algunas reglas, una flecha hacia p necesita que ese orden sea divisible por un número fijo m. Junte las dos cosas:

Si m no divide a p − 1, ningún orden puede ser divisible por m, así que ninguna flecha puede apuntar nunca a p — desde ningún primo, dentro de ningún número, jamás. Ese primo no divide a ningún socio del club.

Para la regla q^2e+1, eso excluye a todo primo que deje resto 3 al dividir por 4. Y acá está en una línea: una flecha hacia el 3 necesitaría que q^2e dejara resto 2 al dividir por 3 — pero q^2e es un cuadrado, y los cuadrados sólo dejan resto 0 o 1. Imposible, para siempre.

Entre los primeros 429 primos impares, 218 quedan excluidos para esa regla, y son exactamente los que dejan resto 3 al dividir por 4 — no la mayoría, todos.

Más primos no siempre es más fácil

Uno esperaría que agregar primos facilite cubrir: más puntos, más flechas posibles. Para las reglas sin primos excluidos es así — y de hecho funciona todo conjunto de primos, porque siempre se los puede poner en círculo. Pero si la regla tiene primos excluidos, cada primo de más es otra oportunidad de sacar uno, y la proporción baja.

Curvas de la proporcion de k-tuplas realizables: una sube y dos bajan — **La respuesta depende de la regla, no del problema.** Tres reglas están siempre en 1; una trepa hacia 1; dos caen a la mitad en cada paso.

7 Cómo se comprobó

Cada afirmación se probó dos veces, por métodos que no comparten razonamiento. El criterio rápido se contrastó contra una búsqueda lenta por fuerza bruta que simplemente calcula f(q^e) como un entero común y le mira los factores. Sobre miles de casos los dos nunca discreparon — salvo una vez, y así apareció un error de verdad: para una regla la descripción general falla en el único primo 3, y 30 discrepancias apuntaron derecho ahí.

Los primos excluidos se comprobaron directamente sobre cada entero hasta tres millones. De los 379 socios de ese club, exactamente 0 tienen un factor prohibido.

Por qué un cero solo no es evidencia. Una búsqueda que no encuentra nada no prueba nada hasta que se muestre que habría encontrado algo. Así que la misma búsqueda se corrió sobre una tercera regla, sin primos excluidos. Encontró 578. La maquinaria funciona; los ceros son de verdad.

Y el último control del código, a propósito, no es sobre estos resultados: reproduce una densidad que calculó Helmut Hasse en 1966. Si la maquinaria coincide con un teorema publicado hace sesenta años, hay motivo para confiarle lo que sí es nuevo.

8 Para qué sirve

Dos cosas, las dos prácticas para quien trabaje con estos objetos.

Primero, vuelve finitas búsquedas que estaban abiertas. Si uno busca socios de alguno de estos clubes, ahora puede descartar la mitad de los primos antes de empezar, sabiendo que no perdió nada.

Segundo, zanja una pregunta que parecía necesitar medición. Si «más primos ayuda» no es algo para estimar muestreando: se lee de la regla de antemano, mirando si hay alguna flecha prohibida. Eso convierte una pregunta empírica en una comprobación de una línea.

9 Lo que no dice

Uno de los cuatro resultados está identificado, no demostrado. La proporción exacta de ternas que funcionan para una regla es 15590837/30623040. Lo demostrado es que la respuesta cae dentro de un intervalo más angosto que una millónesima de millónesima de millónesima; lo identificado es la fracción más simple de adentro, que cae ahí por azar con probabilidad de unas cinco en diez millones. Evidencia muy fuerte, no demostración, y el informe técnico lo dice así.
Las proporciones se apoyan en un modelo de cómo se distribuyen los órdenes. La reciprocidad está adentro y pesa — sacarla cambia la respuesta seis errores estándar—, pero las suposiciones restantes se ponen a prueba, no se demuestran.
Se encontró y se corrigió en público un error propio. Una comparación anterior usaba una medida de error estadístico doce veces más chica de lo debido, porque trataba a las ternas de primos como independientes cuando comparten primos. La conclusión sobrevivió; el argumento con que se la defendía, no, y lo que se publica es la versión corregida.
Que un club sea fácil de integrar en principio no hace chicos a sus socios. La mitad de las ternas se puede cubrir, pero el número más chico que lo logra tiene, típicamente, unas dos mil trescientas cifras.

10 Glosario

Digrafo de cubrimiento: El dibujo de puntos y flechas de la sección 3. Pertenecer al club es exactamente «todo punto tiene flecha entrante».
Realizable: Un conjunto de primos es realizable si alguna elección de exponentes hace que el número resultante sea socio. Los primos 3, 7, 11 son realizables; el par 3, 7 no.
Primo incubrible: Un primo al que ninguna flecha puede apuntar, así que no divide a ningún socio.
Reciprocidad cuadrática: El teorema de Gauss que relaciona «¿es p un cuadrado módulo q?» con «¿es q un cuadrado módulo p?». Es lo que fuerza la rigidez entre pares de primos que dejan resto 3.
Divisor unitario: Un divisor d de n que no comparte ningún primo con n/d. Sumarlos da la regla q^e+1 sobre potencias de primo.

11 Dónde seguir leyendo

Nivel 1 — si esto le gustó y quiere más, sin fórmulas

Marcus du Sautoy, La música de los números primos (2003). Por qué los primos son irregulares y por qué esa irregularidad tiene estructura. Sin fórmulas.
Los videos de Numberphile sobre aritmética modular y residuos cuadráticos. La idea de «quedarse sólo con el resto», que es lo único que hace falta para la sección 6.

Nivel 2 — un libro de texto, para estudiarlo en serio

G. H. Hardy y E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 6.ª ed. Los capítulos sobre funciones multiplicativas y sobre reciprocidad cuadrática cubren todo lo que se usa acá.
Kenneth Ireland y Michael Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory. Para órdenes, raíces primitivas y polinomios ciclotómicos — la maquinaria detrás de la regla q^2e+q^e+1.

Nivel 3 — el trabajo contra el que se mide éste

H. Hasse, «Über die Dichte der Primzahlen p…», Mathematische Annalen 166 (1966). La densidad 17/24 que se reproduce como control externo en verify.py. Se cita como suya, no se reclama.
Tomohiro Yamada, «On a problem of De Koninck», arXiv:1906.10001. Usa un multigrafo dirigido con condiciones de grado entrante, para otra ecuación. El armado con grafos no es nuevo acá.
El informe técnico: RESULT.md, y qué se buscó: PRIOR_ART.md.