Explicación desde cero · sin conocimientos previos

Los números que dibujan un ciclo

Qué es la cintura de un número, de dónde salieron los diecinueve valores de este trabajo, cómo se comprobaron y para qué sirven. Si sabés dividir y te acordás de qué es un número primo, con eso alcanza.

Jorge Ellena Godoy · 2026 · English version · repositorio

1La pregunta, con peras y manzanas

Vamos a hacer un dibujo con un número. Suena raro, pero es sencillo: los puntos del dibujo son sus primos, y las flechas salen de una cuenta.

Tomemos el 234. Primero lo partimos en primos: 234 = 2 × 3² × 13. Los puntos del dibujo van a ser 2, 3 y 13.

Ahora, a cada primo le calculamos la suma de los divisores de su potencia. Es una cuenta de escuela:

σ(2) = 1 + 2 = 3 σ(3²) = 1 + 3 + 9 = 13 σ(13) = 1 + 13 = 14 = 2 × 7

Y la regla de las flechas es: de cada primo sale una flecha hacia los primos que aparecen en su resultado. Del 2 sale una flecha al 3, porque 3 apareció. Del 3 sale una al 13. Y del 13 sale una al 2, porque 14 = 2 × 7 tiene un 2 adentro.

Las tres flechas cierran un triángulo: 2 → 3 → 13 → 2. Ese camino que vuelve al punto de partida se llama ciclo, y su largo acá es 3. Al largo del ciclo más corto que tenga un dibujo se le dice su cintura.

La pregunta de este trabajo: para cada largo k, ¿cuál es el número más chico de todos cuyo dibujo tiene un ciclo de largo k?

Para k = 3 la respuesta es 234: ningún número menor tiene un triángulo. Este trabajo contesta esa pregunta para 69 casos, con quince cuentas distintas en lugar de la suma de divisores.

2Las palabras que hacen falta

Divide a: «3 divide a 12» quiere decir que 12 ÷ 3 da exacto, sin resto. Se escribe 3 | 12.
Número primo: Sólo se puede dividir por 1 y por sí mismo: 2, 3, 5, 7, 11, 13…
Factorizar: Partir un número en producto de primos: 234 = 2 × 3² × 13. Cada número se parte de una sola manera.
σ(n), la suma de divisores: Se suman todos los números que dividen a n, incluido él mismo. σ(6) = 1+2+3+6 = 12. Es una de las cuentas más viejas de la matemática: con ella se definen los números perfectos.
rad(n), el radical: El producto de los primos distintos de n, sin repetir. rad(234) = 2 × 3 × 13 = 78.
Ciclo y cintura: Un ciclo es un camino de flechas que vuelve al punto donde empezó. La cintura es el largo del ciclo más corto del dibujo. Es una palabra prestada de la teoría de grafos, la rama que estudia puntos unidos por líneas.

3Cómo se dibuja, paso a paso

El número 234 se factoriza en 2, 3 al cuadrado y 13; las sumas de divisores dan 3, 13 y 14, y las flechas resultantes forman un triángulo entre 2, 3 y 13. — **Figura 1.** El dibujo de 234. Cada cuenta de la derecha produce una flecha, y las tres flechas cierran un triángulo. La cintura es 3.

Un detalle que importa: el dibujo sólo tiene sentido cuando todos los primos tienen al menos una flecha que les llega. Los números donde eso pasa se llaman, para la suma de divisores, prime-abundant, y no son un invento de este trabajo: los estudiaron Pollack y Pomerance en 2012 y están catalogados en la enciclopedia OEIS. Lo que se calcula acá es una propiedad del dibujo de esos números, que es otra cosa.

A la izquierda el 6 con dos flechas entre 2 y 3, cintura 2. A la derecha el 234 con un triángulo, cintura 3. — **Figura 2.** Dos cinturas. El 6 cierra con dos flechas; el 234 necesita tres. La pregunta es cuál es el más chico para cada largo.

4Probalo vos antes de seguir

Ejercicio · dos minutos y una hoja

Dibujá el 6. Pista: 6 = 2 × 3, así que hay dos puntos. Calculá σ(2) y σ(3) y mirá qué primos aparecen.

Respuesta: σ(2) = 3, así que sale una flecha 2 → 3. Y σ(3) = 1+3 = 4 = 2², así que sale 3 → 2. Las dos flechas cierran un ciclo de largo 2: la cintura del 6 es 2. Y no hay ningún número más chico que cierre, así que el 6 es la respuesta para k = 2.

5De dónde sale la información

Acá nadie opinó. Cada uno de los diecinueve números salió de un programa, y hay dos programas distintos que no comparten el método:

Cribar. Recorrer los números uno por uno desde el principio, dibujar el grafo de cada uno y quedarse con el primero que tenga la cintura buscada. Es lento pero no se le escapa nada, y sirve hasta donde la computadora aguanta.
Construir. Armar directamente los candidatos a partir de ciclos de primos, sin recorrer los números del medio. Es rapidísimo y llega mucho más lejos, pero un candidato construido no es una respuesta hasta que se lo mide por separado.
Y cruzarlos. Donde los dos llegan, tienen que dar lo mismo. Ahí es donde se descubre si alguno está mal.

Una trampa que se pagó

En una versión anterior, el constructor proponía n = 120 como el más chico de cintura 3 — y la cintura real de 120 es 2. Construir no es verificar: todo candidato producido por un método tiene que comprobarse con una medición independiente.

6Lo que encontramos

a) Los veintiséis valores

Para cuatro cuentas distintas —la suma de divisores y tres parientes suyas— y para cada cintura, el número más chico. 55 de ellos no se habían calculado nunca.

Gráfico en escala logarítmica del tamaño del menor número de cada cintura, para las tres funciones; los puntos rellenos son los calculados por primera vez. — **Figura 3.** Cuánto crecen. La escala es logarítmica: cada marca es multiplicar por mil. De cintura 2 a cintura 10 se pasa de un número de una cifra a uno de veintitrés — y la línea no siempre sube, que es de lo que habla la sección 6d.

b) De «el más chico que encontramos» a «el más chico»

Ésta es la parte que convierte una lista en un resultado. La versión anterior de este trabajo decía, con honestidad, que sus valores eran «los más chicos entre los primos examinados» — o sea que si alguien miraba más lejos, quizá aparecía uno mejor. Era una conjetura, no un teorema.

Lo que cierra esa puerta es un razonamiento corto. Si un número es el más chico de su cintura, su primo más grande no puede ser cualquiera: el primo que lo apunta en el ciclo tiene que aportar un valor que lo contenga, y eso obliga a que el número entero sea al menos tan grande como cierto producto. Dado un ejemplo cualquiera ya conocido, eso acota el primo más grande posible. Y revisar todos los primos por debajo de una cota es revisar todos.

Dos líneas: arriba, la búsqueda antigua cubría un tramo y el resto quedaba en duda; abajo, el corte demostrado marca un límite y todo lo que sigue queda descartado. — **Figura 4.** Antes se revisaba hasta donde alguien había mirado. Ahora se demuestra que más allá del corte no hay nada, así que revisar hasta el corte es revisar todo.

c) Y empezar sin conocer ninguna respuesta

El corte de arriba tiene un problema: está escrito en términos de un ejemplo que ya se conoce. Si de una cintura nadie exhibió nunca un número, no hay con qué empezar, y la versión anterior decía justamente eso: que ahí la búsqueda «sigue siendo heurística».

Resultó ser falso, y lo interesante es que la propia versión anterior tenía el material para darse cuenta. Duplicando un tope y revisando de forma exhaustiva por debajo, la búsqueda ya no necesita ninguna semilla. Con eso salió el primer valor que no podría haberse calculado antes: la cintura 9 de una de las tres funciones, que no tenía ningún ejemplo conocido.

d) A veces el número siguiente es más chico, y ahora se puede saber de antemano

Uno esperaría que pedir un ciclo más largo cueste más, y casi siempre cuesta. Pero dos veces en la tabla el número de la cintura siguiente es más chico que el anterior. ¿Por qué?

Mirá el dibujo como un collar de cuentas. Para alargar el collar en una cuenta hay que meter una cuenta nueva entre dos viejas. La cuenta nueva cuesta algo —es un primo más—, pero la cuenta que queda justo antes puede salir más barata, porque ya no tiene que alcanzar hasta la que seguía; alcanzar menos lejos significa una potencia más chica. Si lo que se ahorra es más que lo que se paga, el collar más largo es el más barato.

Ésa es toda la idea, y se puede comprobar sin encontrar el número siguiente. Todo lo que la comprobación necesita está en el collar que ya se tiene: para cada unión, las potencias por debajo de la que ya está, y los primos que dividen al valor en esa potencia. Las dos listas son cortas y finitas. Si alguna inserción sale más barata que lo que reemplaza, entonces el número siguiente es más chico — demostrado, sin buscarlo.

Y funciona: sobre todos los pares de cinturas consecutivas de la tabla, la comprobación dice «más chico» exactamente dos veces, que son exactamente las dos veces que pasa — y en las dos entrega el número siguiente clavado.

Hay un premio extra, y es cómo se calcularon dos de los valores nuevos. Aunque la inserción no salga más barata, igual entrega un número de verdad de la cintura siguiente — y tener un número es justo lo que la búsqueda de la sección 6b necesita para arrancar, porque le ahorra todo el tanteo. Se corrió de las dos formas para ver cuánto vale eso: arrancando de cero tardó 1125 segundos; arrancando del número que la inserción entrega, 252. Compra velocidad, no posibilidad: la búsqueda llega igual.

7¿Y cómo sabemos que no nos equivocamos?

Porque cualquiera puede correr un comando y verlo. El repositorio trae un programa que corre 474 comprobaciones en alrededor de un minuto, sin instalar nada.

Cada número, desde su definición. No se comprueba que el programa esté de acuerdo consigo mismo: se recalcula el radical, la suma de divisores y la cintura de cada uno de los diecinueve valores desde cero.
Un control externo. El programa cuenta, con su propia criba, cuántos números de esta familia hay hasta mil millones, y lo compara con la cantidad publicada por Pollack y Pomerance en 2012. Da 5327 contra 5328, y la diferencia está explicada: ellos cuentan también el número 1. Que un número ajeno coincida al dígito es lo que convierte «confiá en mí» en «probalo vos».
Los números de esta misma página están marcados en el archivo y se comparan contra los datos. Si mañana mejora un valor y esta explicación no se actualiza, la comprobación falla.

8¿Para qué sirve?

Convierte una búsqueda infinita en una finita. Ese es el corazón: pasar de «probé hasta acá y no encontré nada mejor» a «demostré que más allá no hay nada». Es la diferencia entre un dato y un teorema, y aparece en cualquier disciplina que busque el mínimo de algo.
Une dos mundos que se estudian por separado: las cuentas con divisores, que tienen dos mil años, y los grafos, que tienen trescientos. El dibujo del punto 1 es un puente entre los dos.
Deja preguntas abiertas, que están anotadas en el repositorio. Un resultado que no abre ninguna suele ser una casilla llena y no un hilo tirado.

9Lo que esto NO dice

No dice	Por qué
Que la familia de números sea nueva	No lo es: para la suma de divisores son los prime-abundant de Pollack y Pomerance (2012), catalogados como A175200. Lo nuevo es el invariante del dibujo.
Que haya valores para toda cintura	La tabla llega hasta donde el cómputo llegó. Las casillas vacías son casillas vacías, no ceros.
Nada sobre los números que no son de esta familia	Si a algún primo no le llega ninguna flecha, el número queda fuera y no se dice nada de él.
Que el método sea el más rápido posible	Se midió que es varias veces más rápido que el anterior, y eso es todo lo que se afirma.
Que si la comprobación no encuentra ninguna inserción más barata, el número siguiente sea mayor	La comprobación vale en una sola dirección. Cuando encuentra una, el siguiente es de verdad más chico. Cuando no encuentra ninguna, el siguiente todavía podría ser más chico por un motivo que no tiene nada que ver con este collar — no pasó nunca en la tabla, pero «nunca pasó» es una medición, no una demostración.

Glosario

Palabra	Qué quiere decir	Ejemplo
Primo	Sólo lo dividen 1 y él mismo	2, 3, 5, 7
Factorizar	Partir en producto de primos	234 = 2·3²·13
σ(n)	La suma de todos los divisores	σ(6) = 12
rad(n)	El producto de los primos distintos	rad(234) = 78
Grafo dirigido	Puntos unidos por flechas	2 → 3
Ciclo	Camino de flechas que vuelve al inicio	2→3→13→2
Cintura	El largo del ciclo más corto	cintura(234) = 3
Testigo	Un número que exhibe cierta cintura	234 para k=3

Para seguir leyendo

Nivel 1 — si esto te gustó y querés más, sin fórmulas

Wikipedia, Número primo. Los ladrillos de todo lo demás.
Wikipedia, Función divisor y Número perfecto. De dónde viene σ(n) y por qué se la estudia desde la Antigüedad.
Wikipedia, Teoría de grafos y Girth. La otra mitad: puntos, flechas, ciclos y la cintura.
OEIS Foundation, La Enciclopedia en línea de sucesiones de enteros. Más de 380.000 sucesiones catalogadas. Es donde se averigua si una lista de números ya se conocía.

Nivel 2 — un libro de texto, para estudiarlo en serio

D. M. Burton, Elementary Number Theory, McGraw-Hill, 7.ª ed., 2010. El más amable para empezar; los capítulos de divisibilidad y funciones aritméticas cubren σ(n) y rad(n).
G. H. Hardy y E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford, 6.ª ed., 2008. El clásico, y la referencia estándar para las funciones multiplicativas.
J. A. Bondy y U. S. R. Murty, Graph Theory, Springer, 2008. Para la mitad de grafos: ciclos, cintura y grafos dirigidos, con todo el vocabulario.

Nivel 3 — los trabajos con los que este se compara

P. Pollack y C. Pomerance, «Prime-perfect numbers», INTEGERS 12A (2012), artículo A14. La familia de números sobre la que se dibuja, y la cuenta de cuántos hay hasta un tamaño dado. Es el control externo del verificador.
OEIS, A175200, los números con rad(n) | σ(n). La familia, catalogada. Confirma que no es un invento de este trabajo.
OEIS, A000203 (σ) y A007947 (rad). Las dos funciones que aparecen en la definición.

Y el trabajo mismo

J. Ellena Godoy, «Smallest witnesses by girth for rad(n) | f(n)», 2026. DOI 10.5281/zenodo.22288593. Los enunciados, las demostraciones, los datos y el verificador.